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微信公众号狄利克雷函数（狄利克雷函数可导吗）
大家好，关于狄利克雷函数很多朋友都还不太明白，不知道是什么意思，那么今天我就来为大家分享一下关于狄利克雷函数可导吗的相关知识，文章篇幅可能较长，还望大家耐心阅读，希望本篇文章对各位有所帮助！
1什么是狄立克雷函数？怎么证明它是偶函数和周期函数？
狄利克雷函数是：当x是有理数时,f(x)=1；当x是无理数时,f(x)=0.
显然该函数是个偶函数,因为x和-x要么都是有理数,要么都是无理数。
容易看出任何正的有理数都是该函数的周期,比如1,0.5都是它的周期,不过由于没有最小的正有理数,它没有最小正周期。
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
基本性质
1、定义域为整个实数域R
2、值域为{0,1}
3、函数为偶函数
4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在
5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）
分析性质
1、处处不连续。
2、处处不可导。
3、在任何区间内黎曼不可积。
4、函数是可测函数。
5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间a,b以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）。
对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。
2狄利克雷函数表达式是什么？
函数表示为：
（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）。
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
狄利克雷函数的出现，表示数学家“J对数学的理解发生了深刻的变化。数学的一些“人造”特征开始展现出来这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人。并且是有意识地“以概念代替直觉”的人。
在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数进行具体计算，他们不大考虑抽象问题。但狄利克雷之后，事情逐渐变化了。人们开始考虑函数的各种性质，例如(函数的)对称性、增减性、连续性等。
3为什么狄利克雷函数是周期函数？
如下：
狄利克雷函数是周期函数证明：取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数。
狄利克雷函数基本性质：
1、定义域为整个实数域R。
2、值域为{0,1}。
3、函数为偶函数。
4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。
5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。
4狄利克雷函数的周期性怎么解释？
狄利克雷函数的周期性：狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数）；f(x)=0(当x为无理数）；而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。
显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。
狄利克雷函数
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
OK，本文到此结束，希望对大家有所帮助。
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